Logika

1) Pernyataan atau kalimat Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu :


Kalimat tertutup, adalah pernyataan yang mempunyai nilai kebenarannya tunggal, yaitu benar saja atau salah saja. Contoh: 
a) 5 x 4 = 20 (bernilai benar)  
b) 7 + 3 = 21 (bernilai salah) 


Kalimat terbuka, adalah pernyataan yang kebenarannya apakah benar atau salah. Contoh : 
a) Andi adalah anak yang rajin  
b) 2x - 3 = 5


2) Ingkaran atau Negasi dari suatu pernyataan

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang bersifat menyangkal atau mengingkari pernyataan sebelumnya. Jika p adalah suatu pernyataan maka negasi atau ingkaran p dinotasikan dengan ~ p.

Tabel kebenaran dari ingkaran

p	~ p
B	S
S	B

Contoh :

p      :   Medan adalah kota terbesar di Indonesia

~p   :  Tidak benar Medan kota terbesar di Indonesia atau Medan              bukan kota terbesar di Indonesia

q     : 2x - 7 > 3

~q   : 2x - 7 ≤ 3 

3) Pernyataan Majemuk

a. Konjungsi

 Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan

p_˄q.

Tabel  kebenaran konjungsi

p	q	p˄q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh

1. 13 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap

P : 13 adalah bilangan prima (bernilai benar)

Q : 2 adalah bilangan genap (bernilai benar)

  p _˄ q = B_˄B = B

2. ~(p _˄ q) = ~( B_˄S) = ~( S) = B

b. Disjungsi

 Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan p_˅q. 

 Tabel kebenaran disjungsi

p	q	p˅q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh

Yen adalah mata uang jepang dan 3 adalah bilangan genap

P : yen adalah mata uang jepang ( bernilai benar)

Q : 3 adalah bilangan genap ( bernilai salah)

p _˅ q = B_˅S = B

c. Implikasi

 Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan p_→q . 

 Tabel kebenaran implikasi

p	q	p→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh

Jika 15 bilangan prima maka 15 kelipatan dari 2

P : 15 bilangan prima (bernilai salah)

Q : 15 kelipatan dari 2 ( bernilai salah)

p → q = S → S = B

d. Biimplikasi

 Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan p _↔q

Tabel kebenaran biimplikasi

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh

12 + 24 = 36 jika dan hanya jika 12 × 24 = 388

P : 12 + 24 = 36 ( berrnilai benar )

Q : 12 × 24 = 388 ( bernilai salah )

p_↔q = B ↔ S = S

4) Tautologi, kontradiksi, dan ekuivalen

Tautologi

Adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua nilai kebenaran dari komponennya.

Contoh

Buktikkan bahwa pernyataan majemuk (p→q) ↔ ( _~p _˅ q) merupakan tautologi

Pembuktian :

P	Q	~p	~p ˅ q	(p→q) ↔  ( ~p ˅ q)
B	B	S	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Dari tabel di atas kita bisa lihat bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk (p→q) ↔  ( _~p _˅ q) selalu bernilai benar maka pernyataan tersebut merupakan tautologi

Kontradiksi

Adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua nilai-nilai kebenaran dari komponennya.

Contoh

Buktikkan bahwa pernyataan majemuk ( p _˄ q ) _{˄ ~} q  merupakan kontradiksi

Pembuktian :

p	q	~q	p ˄ q	( p ˄ q ) ˄ ~ q
B	B	S	B	S
B	S	B	S	S
S	B	S	S	S
S	S	B	S	S

Dari tabel di atas kita bisa lihat bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk ( p _˄ q ) _{˄ ~}q  selalu bernilai benar maka pernyataan tersebut merupakan kontradiksi

Ekuivalen

Adalah dua pernyataan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua nilai kebenaran dari komponennya.

Contoh

Buktikan bahwa pernyataan majemuk p→q ekuivalen _~p _˅  q

Pembuktian :

P	Q	~p	p →q	~p ˅ q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Dari tabel kebenaran dapat kita lihat bahwa nilai kebenaran dari pàq sama dengan nilai kebenaran _~p _˅ q yaitu BSBB. Jadi pàq ekuivalen dengan _~p _˅ q

5) Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut. Dari pernyataan majemuk “p →q” dapat kita turunkan pernyataan majemuk yang lain seperti berikut ini:

Konvers

q → p disebut konvers dari p →q

Invers  

_~p → _~q disebut invers dari p → q

Kontraposisi

_~q disebut kontraposisi atau kontrapositif dari p →q

Contoh

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ini

P → ( _~p _˅ q)

Jawab :

Konvers dari p →( _~p _˅ q) = ( _~p _˅ q) →p

Invers dari p → ( _~p _˅ q) = _~p →( _~p _˅ q)

                                        = _~p → (p _{˄ ~}q)

Kontraposisi dari p → (  _~p _˅ q) = _~( _~p _˅ q) →_~p

                                                 = (p _{˄ ~} q) → _~p

Pernyataan berkuantor  dan negasi atau ingkaran pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang menyatakan ukuran kuantitas atau jumlah. Seperti semua, setiap, seluruh, ada, beberapa dan sebagian. Dengan meletakkan kuantor di depan kalimat terbuka akan diperoleh suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah. Kalau negasi atau ingkaran pernyataan berkuantor adalah lawan atau kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan awal yang diketahui. Pernyataan berkuantor terdiri dari dua jenis yaitu Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial.

Kuantor Universal

Kuantor Universal dilambangkan dengan “ “ dan dibaca: semua atau setiap.

Rumus : 

~∀P  ≡   _ᴲ ~P  atau    
(∀ x _∈ S), P(x)dibacanya untuk semua x anggota S,berlaku P(x).
Atau setiap x anggota S berlaku P(x)

Contoh

1. P : Semua lampu menyala

  ~P : Ada/beberapa lampu tidak menyala

2. P : Semua gajah berkaki empat

  ~P : Ada/beberapa gajah tidak berkaki empat

Kuantor Eksistensial

Kuantor Eksistensial dilambangkan “ ᴲ “ dan dibaca : ada, beberapa, sekurang-kurangnya satu

Rumus :

~ _ᴲ P ≡ ∀~P atau ( _{ᴲ x ∈} S), P(x)dibacanya untuk ada x anggota S,sedemikian sehingga P(x).Atau beberapa x anggota S sedemikian sehingga P(x)

Contoh

1. P : Ada manusia yang tidak mati

  ~P : Semua/ setiap manusia mati

Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang merupakan premis-premis yang dapat kita ambil dari suatu kesimpulan baru yang disebut dengan konklusi dari premis-premis tersebut. Penarikan kesimpulan dari pernyataan tersebut didasarkan pada konjungsi premis-premis yang berimplikasi dengan konklusinya. Penarikan kesimpulan dikatakan sah bila konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi dan tidak sah bila konjungsi dari premis-premisnya tidak berimplikasi konklusi. Ada tiga cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

Modus Ponens

adalah penarikan kesimpulan yang dapat kita nyatakan sebagai berikut

Premis  1              : p → q

Premis  2              : p

___________________________

Konklusi               : ∴ q

Contoh

1. Jika Riska rajin belajar maka Riska pintar

2. Riska rajin belajar

Jawab 

Premis  1              : Jika Riska rajin belajar maka Riska pintar

Premis  2              : Riska rajin belajar

________________________________________________

Konklusi               : ∴ Riska pintar

Modus tollens

Adalah penarikan kesimpulan yang dapat kita nyatakan sebagai berikut:

Premis  1              : p →q

Premis  2              : ~q

___________________________

Konklusi               : ∴ ~p

Contoh

1. Jika harga BBM naik maka harga barang naik

2. Harga barang tidak naik

Jawab 

Premis  1              : Jika harga BBM naik maka harga barang naik

Premis  2              : Harga barang tidak naik

_____________________________________________________

Konklusi               :  ∴ Harga BBM tidak naik

Silogisme

Adalah bentuk penarikan kesimpulan yang dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Premis  1              : p →q

Premis  2              : q→ r

___________________________

Konklusi               :  ∴ p → r

Contoh

1. Jika Doni berusaha maka Doni berhasil

2. Jika Doni berhasil maka Doni berbahagia

Jawab

 Premis  1             : Jika Doni berusaha maka Doni berhasil

Premis  2              : Jika Doni berhasil maka Doni berbahagia

____________________________________________________

Konklusi               : ∴  Jika Doni berusaha maka Doni berbahagia